Analicemos la presunta locución dar a basto.

En esta expresión, así escrita, basto sería, presuntamente, una forma nominal del verbo bastar (“ser suficiente para algo”). Pero no existe ninguna forma nominal derivada de este verbo que sea basto.

Es cierto que sí existe un sustantivo basto, pero lo que define es una “especie de alforja para llevar sobre un asno o similar”; además de “uno de los palos de la baraja española”.

Y también tenemos un adjetivo basto/a; pero significa «burdo, tosco».

Así que a + basto no significaría nada…

En cambio abasto, todo junto, es un sustantivo que significa «provisión de algo» (de abastecer…). Y eso cuadra mucho más con lo que queremos decir cuando utilizamos la locución verbal dar abasto: «proveer suficientemente».

¡Aclarado!